Der Unterschied zu linearem Wachstum entscheidet fast jede Aufgabe: Kommt in gleichen Zeitschritten derselbe Betrag hinzu oder derselbe Faktor?
AUF EINEN BLICK
Teile aufeinanderfolgende Werte durcheinander. Ist der Quotient konstant, liegt exponentielles Wachstum vor; ist die Differenz konstant, ist es linear.
SO GEHST DU VOR
Die Prozentangabe direkt als Faktor zu schreiben ist der Schritt, an dem die meisten Punkte verloren gehen.
Solange nach dem Bestand gefragt wird, reicht Einsetzen. Nach der Zeit gefragt, braucht es den Logarithmus.
AUFGABE
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 200 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 12 Stunden, und wann werden 5.000 überschritten?
LÖSUNGSWEG
Nach 12 h sind es 3.200 Bakterien; 5.000 werden nach etwa 13,9 h überschritten.
Modell erkennen, Term aufstellen und Werte berechnen – aufeinander aufbauende Anforderungen.
Erkennen
Bei den Werten 100, 110, 121 ist die Differenz nicht konstant, der Quotient aber jeweils 1,1 – also exponentiell.
Aufstellen
Eine Zunahme um 8 Prozent je Jahr ergibt den Faktor 1,08. Der Term lautet dann f(x) = a · 1,08ˣ.
Berechnen
Der Exponent zählt Zeitschritte, nicht Jahre an sich. Bei halbjährlicher Verzinsung ist ein Jahr also zwei Schritte.
Vier Schritte, mit denen dein Term zum Sachverhalt passt.
Quotient statt Differenz
Prozent in Faktor übersetzen
Zeiteinheit beachten
Anteil statt Faktor
Zeitschritt verwechselt
Datenlage prüfen
Bilde aus Tabelle oder Text die Quotienten aufeinanderfolgender Werte und entscheide über das Modell.
Startwert und Faktor bestimmen
Lies den Startwert ab und übersetze die Änderungsrate in einen Faktor.
Term aufstellen und prüfen
Setze ein zweites bekanntes Wertepaar ein – der Term muss es reproduzieren.
Modell prüfen lassen
Der Korrektur-Agent zeigt, ob Modellwahl, Faktor oder Zeiteinheit die Ursache war.
HINTERGRUND
Eine Zunahme um 5 Prozent wird häufig als Faktor 0,05 in den Term geschrieben. Das ist der Anteil, um den sich der Wert ändert – nicht der Faktor, mit dem der alte Wert multipliziert wird.
Richtig ist die Überlegung: Der alte Wert bleibt vollständig erhalten und kommt um 5 Prozent hinzu. Aus 100 Prozent plus 5 Prozent werden 105 Prozent, also der Faktor 1,05. Bei einer Abnahme entsprechend 0,95.
Dieser eine Schritt entscheidet über die gesamte Aufgabe, denn ein falscher Faktor macht jede folgende Rechnung wertlos. Skillsquare prüft ihn deshalb zuerst und trennt ihn von Fehlern bei der Zeiteinheit.
Fehlerbild
Anteil statt Faktor
Aus plus 5 Prozent wird der Faktor 0,05 statt 1,05; die Werte fallen statt zu steigen.
Fehlerbild
Zeitschritt verwechselt
Bei halbjährlicher Änderung wird der Exponent in Jahren gezählt – das Ergebnis ist um eine Periode versetzt.
Anschlussübung
Nur Modell erkennen
Eine kurze Serie verlangt, aus Wertetabellen nur zu bestimmen, ob linear oder exponentiell vorliegt.
Exponentielle Prozesse verändern sich in gleichen Zeitabschnitten jeweils um denselben Faktor, nicht um denselben absoluten Betrag. Aufgaben werden sicherer, wenn Startwert, Faktor, Zeiteinheit und Definitionsbereich aus Text, Tabelle, Term und Graph aufeinander bezogen werden.
MODELLERKENNUNG
Bei f(t) = a · bᵗ ist a der Wert bei t = 0 und b der Faktor pro Zeiteinheit. Werte über 1 beschreiben Wachstum, Faktoren zwischen 0 und 1 einen Zerfall, sofern das Modell im betrachteten Kontext sinnvoll ist.
In einer Wertetabelle sprechen gleiche Quotienten aufeinanderfolgender Werte für ein exponentielles Modell. Gleiche Differenzen gehören dagegen zu einer linearen Veränderung; genau diese Verwechslung erzeugt viele falsche Terme.
WACHSTUMSFAKTOR
Ein Anfangswert von 500 mit 4 % Wachstum pro Periode führt zu f(t) = 500 · 1,04ᵗ. Nach zwei Perioden ergibt sich 500 · 1,04² = 540,80, weil auch die Veränderung der zweiten Periode auf dem neuen Wert beruht.
Bei einer Abnahme um 4 % lautet der Faktor 0,96 und nicht −0,04. Der Faktor beschreibt den verbleibenden Anteil nach jeder Periode; ein negatives Vorzeichen würde einen völlig anderen Verlauf erzeugen.
MODELLCHECK
Berechne t = 0 und eine weitere einfache Stelle und vergleiche sie mit Text oder Tabelle. Bei Wachstum müssen die Werte steigen, doch die absoluten Zuwächse werden ebenfalls größer; eine konstante Zunahme wäre ein Warnsignal.
Exponentialmodelle gelten nicht automatisch unbegrenzt. Formuliere zum Ergebnis immer Einheit und Zeitpunkt und prüfe, ob der betrachtete Zeitraum noch zum Sachverhalt passt, bevor eine rechnerisch korrekte Zahl als realistische Prognose ausgegeben wird.
Lade Tabelle und deinen Term hoch und prüfe, ob Modellwahl, Wachstumsfaktor und Zeiteinheit zusammenpassen.